Les fonctions se dessinent, les courbes ondulent...
𝑓(𝑥) = 𝑎₀ + Σ (𝑎ₙ cos 𝑛𝑥 + 𝑏ₙ sin 𝑛𝑥)
— Fourier · tout est vibration
𝑑𝑓 = ∂𝑓/∂𝑥 · 𝑑𝑥 + ∂𝑓/∂𝑦 · 𝑑𝑦
— la différentielle totale
∫∫𝑆 (∇ × 𝐅) · 𝑑𝐒 = ∮∂𝑆 𝐅 · 𝑑𝐫
— Stokes · le bord raconte l'intérieur
Un premier doute philosophique s'éveille...
René Descartes · 1637
Cogito, ergo sum — Je pense, donc je suis.
Le doute méthodique : que reste-t-il quand on doute de tout ?
La certitude du sujet pensant. Les coordonnées cartésiennes
unissent l'algèbre et la géométrie.
ℝ² : (𝑥, 𝑦) ↦ un point, une pensée géométrique
Blaise Pascal · 1654
L'effroi de l'infini : le silence éternel de ces espaces
infinis m'effraie. Le pari, la probabilité,
le cœur qui a ses raisons que la raison ne connaît point.
𝔼[gain] = 𝑝 · ∞ + (1−𝑝) · (−𝑐) = ∞
— le pari de Pascal · l'infini l'emporte toujours
Acte III — L'Espace et le Temps
Il lève les yeux. Qu'est-ce que l'espace ?
Qu'est-ce que le temps ? La matière courbe-t-elle l'espace ?
𝑑𝑠² = 𝑔𝜇𝜈 𝑑𝑥𝜇 𝑑𝑥𝜈
— la métrique · la mesure de l'espace-temps
ℛ𝜇𝜈 − ½𝑔𝜇𝜈ℛ + Λ𝑔𝜇𝜈 = 8π𝐺 𝑇𝜇𝜈
— Einstein · la géométrie EST la gravitation
Γ𝜆𝜇𝜈 = ½ 𝑔𝜆𝜎(∂𝜇𝑔𝜈𝜎 + ∂𝜈𝑔𝜇𝜎 − ∂𝜎𝑔𝜇𝜈)
— les symboles de Christoffel · comment se connecter
Et la géométrie se libère des coordonnées...
κ = ‖𝛾″(𝑠)‖
— la courbure intrinsèque
∇𝑋𝑌 — le transport parallèle
𝑅(𝑋,𝑌)𝑍 = ∇𝑋∇𝑌𝑍 − ∇𝑌∇𝑋𝑍 − ∇[𝑋,𝑌]𝑍
— Riemann · la courbure mesure l'écart au plat
Immanuel Kant · 1781
L'espace et le temps ne sont pas des choses en soi —
ce sont les formes a priori de notre sensibilité.
Nous ne voyons pas l'espace : nous le construisons.
Critique de la raison pure : les limites de la connaissance.
L'espace de Kant, celui de Riemann — sont-ils le même ?
Acte IV — Les Profondeurs
Deux chemins s'ouvrent devant lui.
Physique
De Maxwell à la théorie quantique des champs...
∇ · 𝐄 = 𝜌/𝜀₀
∇ × 𝐁 = 𝜇₀𝐉 + 𝜇₀𝜀₀ ∂𝐄/∂𝑡
— Maxwell · lumière = onde électromagnétique
𝐻̂ |𝜓⟩ = 𝐸 |𝜓⟩
— Schrödinger · l'équation de la possibilité
(𝑖ℏ𝛾𝜇∂𝜇 − 𝑚𝑐) 𝜓 = 0
— Dirac · l'antimatière émerge
ℒ = 𝜓̄(𝑖𝛾𝜇𝐷𝜇 − 𝑚)𝜓 − ¼𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈
— QED · le lagrangien de la lumière et de la matière
𝒵 = ∫ 𝒟𝜓 𝒟𝜓̄ 𝒟𝐴 · 𝑒𝑖𝑆[𝜓,𝐴]
— intégrale de chemin · sommer sur tous les possibles
𝐹 = 𝑑𝐴 + 𝐴 ∧ 𝐴
— la courbure de jauge · la force est géométrie
𝒲(𝒞) = Tr 𝒫 exp∮𝒞 𝐴
— Wilson · le chemin se souvient de la connexion
𝛽(𝑔) = 𝜇 ∂𝑔/∂𝜇
— renormalisation · la physique change avec l'échelle
Philosophie
De la raison pure à la philosophie de la nature...
Kant — Les antinomies
Le monde a-t-il un commencement dans le temps ?
L'espace est-il fini ou infini ?
La raison pure se heurte à ses propres limites —
elle prouve le pour ET le contre.
Schelling — Naturphilosophie · 1797
La Nature n'est pas un objet mort :
elle est Esprit inconscient, productivité pure.
Le magnétisme, l'électricité, la vie — polarités
d'une même force créatrice.
L'Absolu est l'identité du sujet et de l'objet.
Descartes — La mathesis universalis
Une science universelle de l'ordre et de la mesure.
Le monde est étendue (res extensa) :
la matière est géométrie.
L'esprit (res cogitans) lui est irréductible.
Pascal — Les deux infinis
L'homme entre deux abîmes :
l'infiniment grand et l'infiniment petit.
La dernière démarche de la raison
est de reconnaître qu'il y a une infinité
de choses qui la surpassent.
La nature de Schelling, les limites de Kant,
le doute de Descartes, le vertige de Pascal —
autant de portes vers la même question.
Acte V — La Synthèse
Les deux chemins convergent.
La géométrie est force. La force est nature.
La nature est pensée. La pensée est géométrie.
𝛿𝑆 = 0
— le principe variationnel · toute la physique en trois symboles
ℒ = ℒgravité + ℒjauge + ℒmatière + ℒHiggs
— le lagrangien du monde · quatre termes pour tout décrire
« Ce qui dans la nature est le plus haut,
c'est la conscience de soi. »